အတိုင်းဆတာအုံ

အကာသ-အချိန် (ခေါ်) လောကဇာတ်ခုံ (spectime) အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၏ နေရာအကွာအဝေးနှင့် အချိန်ကုန်ဆုံးမှု သဘောတရားသည် အတိုင်းဆတာအုံ (metric tensor) ၏ အဆုံးအဖြတ်အတိုင်း ဖြစ်ရ၏။

အတိုင်းဆရှိ သဏ္ဌာန်ရာ ရပ်ဝန်း တခုခု၏ ဖြစ်အင်ထု သဘောသရုပ်ဆန်သော အတိုင်းဆတာအုံ (ခေါ်) မတ်ထြစ်တန်ဇာ (အင်္ဂလိပ်: metric tensor) ဆိုသည်မှာ - ၎င်းရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ အလျား၊ ဧရိယာ၊ ထုထည်စသော သဘောတရားများကိုယ်တိုင်၏ ဖွဲ့စည်းပုံတို့ ပေါ်လာအောင် ပုံဖော်ပေးသည့် သင်္ချာသရုပ် ၂-ကြောင်းဆွဲ တာအုံ ဖြစ်၏။ နေရာသီးသန့်သဘောအဖို့ အတိုင်းဆဖြစ်ခဲ့သော အရာသည် (ကိန်းအုံတို့ဖြင့် ဖော်ညွှန်းတွက်ချက်မှု၌) အာကာသ-အချိန်အဖို့ အတိုင်းဆတာအုံ ဖြစ်သွားပုံမှာ သဘောသရုပ်ချင်း အပြိုင်ပင် ဖြစ်သည်။

သင်္ချာ

ရပ်ဝန်းတမျိုးမျိုး၏ အောက်ညွှန်းလုံးကျ (lower-indexked) အတိုင်းဆတာအုံ $\mathbf {g}$ ၏ တာစ(component) များကို ဤသို့ တွက်ထုတ်စစ်ဆေးနိုင်၏။

$g_{\alpha \beta }=\mathbf {\hat {e}} _{\alpha }\cdot \mathbf {\hat {e}} _{\beta }$

$\mathbf {\hat {e}} _{\alpha }$ နှင့် $\mathbf {\hat {e}} _{\beta }$ တို့က စံအလွှားစိပ်များကို ကိုယ်စားပြုသည်။

တိုင်းကြောင်း ၃ခုနှင့်သော ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ် $(x,y,z)$ ၏ အတိုင်းဆတာအုံက အောက်ပါတိုင်း ဖြစ်မည်။ $${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {i}} \cdot \mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {i}} \cdot \mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {i}} \cdot \mathbf {\hat {k}} \\\mathbf {\hat {j}} \cdot \mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} \cdot \mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {j}} \cdot \mathbf {\hat {k}} \\\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {k}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

၂-တိုင်းကြောင်း ဝိုင်းလှည့် အမှတ်ချအိမ် ၏ အတိုင်းဆအာအုံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။ $${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {r}} &\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {\theta }} \\\mathbf {\hat {\theta }} \cdot \mathbf {\hat {r}} &\mathbf {\hat {\theta }} \cdot \mathbf {\hat {\theta }} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r\end{bmatrix}}$$